§
    JŠtj:Ž  ã                   ó˜  — d dl mZ ddlmZ ddlmZmZmZ ed-d„¦   «         Zed.d„¦   «         Z	ed„ ¦   «         Z
ed	„ ¦   «         Zg d
¢Zd„ Zed/d„¦   «         Zed„ ¦   «         Zed„ ¦   «         Zed„ ¦   «         Zed„ ¦   «         Zed„ ¦   «         Zed„ ¦   «         Zed0d„¦   «         Zd„ Zd„ Zd„ Zd„ Zed„ ¦   «         Zed0d„¦   «         Zed0d„¦   «         Zed„ ¦   «         Zed„ ¦   «         Zed1d „¦   «         Zed2d!„¦   «         Z d"„ Z!d#„ Z"ed gdfd$„¦   «         Z#edgd fd%„¦   «         Z$d&„ Z%d'„ Z&d(„ Z'd)„ Z(ed3d+„¦   «         Z)ed,„ ¦   «         Z*dS )4é    )Úprint_functioné   )Úxrangeé   )ÚdefunÚdefun_wrappedÚdefun_staticc                 ó@  ‡ ‡‡‡	— ‰                       ‰¦  «        Š‰                       ‰¦  «        Š‰dk     r‰                      d¦  «        S t          ‰ d¦  «        r‰ j        }n	i x}‰ _        ‰dk    r+‰dk    r‰ j        
 S ‰|v r|‰         \  }}|‰ j        k    r|
 S dŠ	ˆˆ ˆ	ˆfd„}‰ j        }	 ‰dk    r&d‰ _        ‰                      |d‰ j        gd¬	¦  «        Š	|d
z   t          ‰dz  ¦  «        z   ‰ _        ‰                      |d‰ j        gd¬	¦  «        }‰  	                    ‰¦  «        ‰z  d‰z  z  ‰  	                    ‰¦  «        ‰dz   z  ‰dz   z  z
  d|z  ‰z  ‰	z  z   }|‰ _        n# |‰ _        w xY w‰dk    r!‰  
                    ‰¦  «        r‰ j        |f|‰<   |
 S )Nr   z&Stieltjes constants defined for n >= 0Ústieltjes_cacher   c                 óô   •— | ‰z  }|‰j         z
  ‰                     ‰‰j         | z  z
  ¦  «        ‰z  z  d|dz  z   z  ‰                     d‰j        z  | z  ¦  «        dz
  z  }‰                     |¦  «        ‰z  S ©Nr   r   )ÚjÚlnÚexpÚpiÚ_re)ÚxÚxaÚvÚaÚctxÚmagÚns      €€€€úS/var/www/html/CA-Chatbot/venv/lib/python3.11/site-packages/mpmath/functions/zeta.pyÚfzstieltjes.<locals>.f   sy   ø€ Øˆq‰SˆØ�”‰X�s—v’v˜a ¤ a¡™iÑ(Ô(¨!Ñ+Ñ+¨Q¨r°1©u©WÑ5°s·w²w¸qÀÄ¹xÈ¹zÑ7JÔ7JÈ1Ñ7LÑMˆØ�wŠw�q‰zŒz˜CÑÐó    é2   é   é   )Ú	maxdegreeé
   ç      à?r   )ÚconvertÚ
bad_domainÚhasattrr   ÚeulerÚprecÚquadÚinfÚintr   Úisint)
r   r   r   r   r'   Úsr   Úorigr   r   s
   ```      @r   Ú	stieltjesr.      sè  øøøø€ à�Š�A‰Œ€AØ�Š�A‰Œ€AØˆ1‚u€uØ�~Š~ÐFÑGÔGÐGÝˆsÐ%Ñ&Ô&ð 3ØÔ-ˆˆà02Ð2ˆ˜#Ô-ØˆA‚v€vØ�Š6ˆ6Ø”I�:ÐØ�ÐÐØ% aÔ(‰GˆD�!Ø�s”xÒÐØ�r�	Ø
€Cð ð  ð  ð  ð  ð  ð  ð  ð Œ8€Dð
ð ˆrŠ6ˆ6ØˆCŒHØ—(’(˜1˜q ¤˜k°Q�(Ñ7Ô7ˆCØ˜"‘9�s 1 c¡6™{œ{Ñ*ˆŒØ�HŠH�Q˜˜3œ7˜¨rˆHÑ2Ô2ˆØ�FŠF�1‰IŒI�q‰L˜!˜A™#Ñ §¢¨¡¤¨Q¨q©SÑ!1°1°Q±3Ñ!7Ñ7¸!¸A¹#¸a¹%À¹)ÑCˆàˆŒˆø�4ˆŒˆˆˆˆØˆA‚v€v�#—)’)˜A‘,”,€vØ!œh¨˜]ˆ˜ÑØˆ2€Is   Â.B4E* Å*	E3c                 ó\  — t          |¦  «        }|| j        k    s|| j        k    r,|dk     r|| j        k    r|dk    r| j        S | j        S | j        S |dk    rÛ|                      |¦  «        r`|                      dd|z  z   ¦  «        }|                      dd|z  z
  ¦  «        }|                      | j        ¦  «         dz  |z  d||z
  z  z
  S |                      |¦  «        r|S |                      |                      dd|z  z   ¦  «        ¦  «        |                      | j        ¦  «        dz  |z  z
  S |dk    ród|dz
  z  |  	                    |dz
  dd|z  z
  ¦  «        z  }d|dz
  z  |  	                    |dz
  dd|z  z   ¦  «        z  }|                      |¦  «        r4|dk    r&d|  
                    | j        ¦  «        z  d||z   z  z   S d||z   z  S |dk    r9|                      d|  
                    | j        ¦  «        z  d||z   z  z   ¦  «        S |                      d||z   z  ¦  «        S d S )Nr   r   ç      Ð?y              à?ù       €      à¿r   ç      à¿)r*   r)   ÚninfÚzeroÚ_imÚloggammar   r   ÚisinfÚ	polygammaÚlogr   )r   ÚtÚ
derivativeÚdr   Úbs         r   Úsiegelthetar>   ,   s,  € åˆJ‰Œ€AØ	
ˆcŒgŠˆ˜˜cœhš˜ØˆqŠ5ˆ5Ø�C”HŠ}ˆ}  a¢ Ø”x�Ø”7ˆNà”8ˆOØˆA‚v€vØ�7Š7�1‰:Œ:ð 	Kà—’˜T $ q¡&™[Ñ)Ô)ˆAØ—’˜T $ q¡&™[Ñ)Ô)ˆAØ—F’F˜3œ6‘N”N�? 1Ñ$ QÑ&¨¨q°©s©Ñ3Ð3à�yŠy˜‰|Œ|ð Ø�Ø—7’7˜3Ÿ<š<¨¨T°!©V©Ñ4Ô4Ñ5Ô5¸¿º¸s¼v¹¼ÀqÑ8HÈÑ8JÑJÐJØˆ1‚u€uØ�a˜‘c‰N˜3Ÿ=š=¨¨1©¨d°4¸±6©kÑ:Ô:Ñ:ˆØ�Q�q‘S‰M˜#Ÿ-š-¨¨!©¨T°$°q±&©[Ñ9Ô9Ñ9ˆØ�7Š7�1‰:Œ:ð 		+Ø�AŠvˆvØ˜CŸGšG C¤F™OœOÑ+¨D°!°A±#©JÑ6Ð6à˜Q˜q™S‘zÐ!à�AŠvˆvØ—w’w˜t C§G¢G¨C¬F¡O¤OÑ3°D¸!¸A¹#±JÑ>Ñ?Ô?Ð?à—w’w˜t Q q¡S™zÑ*Ô*Ð*ð €ur   c           	      óÈ   ‡ ‡— d‰ j         z  ‰                      d‰                      d‰z  dz   d‰ j        z  z  ¦  «        z   ¦  «        z  }‰                      ˆ ˆfd„|¦  «        S )Nr   r   é   c                 óD   •— ‰                      | ¦  «        ‰j        ‰z  z
  S ©N)r>   r   )r:   r   r   s    €€r   ú<lambda>zgrampoint.<locals>.<lambda>S   s   ø€  #§/¢/°!Ñ"4Ô"4°S´V¸A±XÑ"=€ r   )r   r   ÚlambertwÚeÚfindroot)r   r   Úgs   `` r   Ú	grampointrH   N   sg   øø€ ð 	
ˆ#Œ&‰�—’˜˜3Ÿ<š<¨¨1©¨Q©°°3´5±Ñ(9Ñ:Ô:Ñ:Ñ;Ô;Ñ;€AØ�<Š<Ð=Ð=Ð=Ð=Ð=¸qÑAÔAÐAr   c           
      óº  ‡ ‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡— t          |                     dd¦  «        ¦  «        }‰                      |¦  «        }‰                      |¦  «        }‰                      |¦  «        }‰ j        }	 t          |¦  «        d|z  k    rK|dz  |k     rB‰                      ||¦  «        }‰                      |¦  «        r‰                      |¦  «        S |S n# t          $ r Y nw xY w‰ xj        dz  c_        ‰  
                    ‰                      |¦  «        ¦  «        }‰                      d‰ j        |z  z   ¦  «        Š|dk    r9|‰z  }|‰ _        ‰                      |¦  «        r‰                      |¦  «        S |
 S ‰                      d‰ j        |z  z   d¬¦  «        Š‰                      |d¬¦  «        Š|dk    rG‰ j        |z  ‰‰‰z  z   z  }|‰ _        ‰                      |¦  «        r‰                      |¦  «        S |
 S ‰                      d‰ j        |z  z   d¬¦  «        Š‰                      |d¬¦  «        Š‰dz  ‰ j        ‰z  z
  Š|dk    rYˆˆˆˆˆfd	„}	‰                      |	d¦  «        }| |z  }|‰ _        ‰                      |¦  «        r‰                      |¦  «        S |
 S ‰ xj        d
z  c_        ‰                      d‰ j        |z  z   d¬¦  «        Š‰                      |d¬¦  «        Š‰dz  d‰ j        z  ‰z  ‰z  z
  ‰z
  Š|dk    rcˆˆˆˆˆˆˆfd„}	‰                      |	d¦  «        }‰ j         |z  |z  }|‰ _        ‰                      |¦  «        r‰                      |¦  «        S |
 S ‰                      d‰ j        |z  z   d¬¦  «        Š‰                      |d¬¦  «        Šˆ ˆˆˆˆfd„}	‰                      |	d¦  «        Š|dk    r]ˆˆˆ ˆˆˆˆˆˆˆf
d„}	‰                      |	d¦  «        }||z  }|‰ _        ‰                      |¦  «        r‰                      |¦  «        S |
 S |dk    r ˆ fd„}
‰                      |
||dz
  ¬¦  «        S d S )Nr;   r   éô  r   é   r"   r   ©r;   c                  ó    •— d‰z  ‰z  ‰‰‰ z  gS ©Nr   © )Úcomb1Útheta1ÚzÚz1Úz2s   €€€€€r   Útermszsiegelz.<locals>.termsz   s   ø€ Ø�b‘D˜‘K  Q u¡WÐ-Ð-r   r!   r   c                  ó2   •— d‰z  ‰z  d‰z  ‰ z  ‰‰‰z  z   gS )Nr   rO   )rP   Úcomb2rQ   rR   rS   rT   Úz3s   €€€€€€€r   rU   zsiegelz.<locals>.terms‡   s(   ø€ Ø�v‘X˜b‘[ ! B¡$ u¡*¨b°°5±©jÐ9Ð9r   é   c                  ób   •— ‰dz  d‰ j         z  ‰dz  z  ‰z  d‰dz  z  d‰z  ‰z  ‰ j         ‰z  gS )NrY   éúÿÿÿr   éýÿÿÿéüÿÿÿ©r   )r   rQ   Útheta2Útheta3Útheta4s   €€€€€r   rU   zsiegelz.<locals>.terms‘   sH   ø€ Ø˜‘	˜2˜cœe™8 F¨A¡IÑ-¨fÑ4°b¸À¹±lØˆv‰I�fÑ˜cœe F™lð,ð 	,r   c                  ó`   •
— d‰dz  z  ‰z  d‰j         z  ‰z  ‰z  d‰z  ‰z  d‰z  ‰ z  ‰	‰‰z  gS )Né   r   r[   rY   r^   )
rW   Úcomb3r   rQ   r_   rR   rS   rT   rX   Úz4s
   €€€€€€€€€€r   rU   zsiegelz.<locals>.terms–   sJ   ø€ Ø�v˜q‘y‘[ ‘^ R¨¬¡X¨b¡[°Ñ%7¸¸6¹À"¹Ø�2‘�e‘˜R  5¡ð*ð *r   c                 ó2   •— ‰                      | d¬¦  «        S )NrY   rL   )Úsiegelz)r   r   s    €r   rC   zsiegelz.<locals>.<lambda>    s   ø€ �c—k’k !°�kÑ2Ô2€ r   )r   )r*   Úgetr#   r   r5   r'   ÚabsÚrs_zÚ_is_real_typeÚNotImplementedErrorÚexpjr>   Úzetar   Úsum_accuratelyÚdiff)r   r:   Úkwargsr<   Út1Út2r'   r   Úe1rU   ÚhrP   rW   rd   rQ   r_   r`   ra   rR   rS   rT   rX   re   s   `          @@@@@@@@@@@@r   rg   rg   V   s  øøøøøøøøøøøøø€ åˆF�JŠJ�| QÑ'Ô'Ñ(Ô(€AØ�Š�A‰Œ€AØ	�Š�‰Œ€BØ	�Š�‰Œ€BØŒ8€DðÝˆr‰7Œ7�S˜‘XÒÐ " a¡%¨"¢* *Ø—’˜˜A‘”ˆAØ× Ò  Ñ#Ô#ð "Ø—w’w˜q‘z”zÐ!ØˆHøøÝð ð ð Øˆðøøøà€H„H��N€H„HØ	�Š�#—/’/ !Ñ$Ô$Ñ	%Ô	%€BØ�Š��S”U˜1‘W‘ÑÔ€AØˆA‚v€vØˆq‰DˆØˆŒØ×Ò˜QÑÔð 	Ø—7’7˜1‘:”:ÐØˆrˆ	Ø	�Š�#�c”e˜A‘g‘+¨!ˆÑ	,Ô	,€BØ�_Š_˜Q¨1ˆ_Ñ-Ô-€FØˆA‚v€vØŒU�2‰X�r˜!˜F™(‘{Ñ#ˆØˆŒØ×Ò˜QÑÔð 	Ø—7’7˜1‘:”:ÐØˆrˆ	Ø	�Š�#�c”e˜A‘g‘+¨!ˆÑ	,Ô	,€BØ�_Š_˜Q¨1ˆ_Ñ-Ô-€FØ�A‰I�c”e˜F‘lÑ"€EØˆA‚v€vð	.ð 	.ð 	.ð 	.ð 	.ð 	.ð 	.ð 	.ð 	.à×Ò˜u aÑ(Ô(ˆØˆS�‰UˆØˆŒØ×Ò˜QÑÔð 	Ø—7’7˜1‘:”:ÐØˆrˆ	Ø€H„H��N€H„HØ	�Š�#�c”e˜A‘g‘+¨!ˆÑ	,Ô	,€BØ�_Š_˜Q¨1ˆ_Ñ-Ô-€FØ�A‰I�a˜œ‘g˜f‘n VÑ+Ñ+¨FÑ2€EØˆA‚v€vð	:ð 	:ð 	:ð 	:ð 	:ð 	:ð 	:ð 	:ð 	:ð 	:ð 	:à×Ò˜u aÑ(Ô(ˆØŒeˆV�B‰Y�q‰[ˆØˆŒØ×Ò˜QÑÔð 	Ø—7’7˜1‘:”:ÐØˆrˆ	Ø	�Š�#�c”e˜A‘g‘+¨!ˆÑ	,Ô	,€BØ�_Š_˜Q¨1ˆ_Ñ-Ô-€Fð,ð ,ð ,ð ,ð ,ð ,ð ,ð ,ð ,ð ×Ò˜u aÑ(Ô(€EØˆA‚v€vð	*ð 	*ð 	*ð 	*ð 	*ð 	*ð 	*ð 	*ð 	*ð 	*ð 	*ð 	*ð 	*ð 	*ð ×Ò˜u aÑ(Ô(ˆØ�‰TˆØˆŒØ×Ò˜QÑÔð 	Ø—7’7˜1‘:”:ÐØˆrˆ	Øˆ1‚u€uØ2Ð2Ð2Ð2ˆØ�xŠx˜˜1  !¡ˆxÑ$Ô$Ð$ð €us   Á8AC ÃC Ã
C'Ã&C')dgŒ­�±úD,@g|¸Èc¤5@g‚÷�Ç9@glŠ®Äl>@gY°w@@gjDËâËB@gp`§•˜uD@g,¥Š‰Ý©E@ge¸¸È¨ H@gÜËPñãH@gæNƒ~3|J@gáC ¥9L@g7”ðk¬M@gï1ý·wjN@g?aóë3GP@g�ûž�ÅP@gMÎá>øbQ@gY`³OLR@g€§íR@gXàGEIS@gÊXe�—ÕS@giµ®CºT@gHõ&Q/U@gÜ©³7ÛU@gùK`zÈ3V@gÂwG{W@g‡¢êž¯©W@gr x¸÷W@gË»;I2µX@gSñ¾«WTY@gts7oîY@g´~Úx•\Z@gEA�†ÊÊZ@gKÐéãÁ[@g|jú÷[@gäZÝ~”\@gàU-î�]@gBí¼/œ²]@ggÁÆ °W^@gü'åÙ˜¼^@gè›·o_@g¾CYá_@gÚ¡«¾„2`@g#œ-XÎb`@gg’ví¯`@g®ñS5Ø`@gñåÓ�¶Ca@g™{�wa@gÎ:iõ£a@gÀñ¨=”ãa@g±l@b@g'B/K‡mb@gŸ;up¶Áb@gHýÙµ›Ýb@gÕ¬JÊ c@gŸ¤óóœƒc@gZUàx³c@gÒ�d3Ûc@gu…þ&d@g¼ªá’û`d@gÇÄ¸«/±d@g¸2«îæåd@g–1E#e@g× Lé.=e@gOÐ¢N+­e@g“ÆBV"Øe@gÄ'Ò: f@g£åx¹Lf@g�¦KÖS}f@g‡�c Æf@gÿ£ûg@goLc<)3g@gstUSgg@gô.õ+Q­g@g6×p^Ú h@g£™Î�"h@g%¢-!~hh@g@T¥#œh@go··j}Àh@g
¡Ùx(i@g®ã¸†ËOi@gxÛ™Ê†i@g5Í\¡¬i@gkµ£ ýi@gëŠ�Är2j@gÀqß‹vj@gÈ'"«j@gÖ�d�Ñj@g¹hÜlk@g‰Ñ¿)bk@g”y�à–k@gÇWÈ­k@g=I™X9 l@g `Lewl@göõ¶x|ml@g+PýÌªl@g…Š»‹èl@gü¢bn—ÿl@gßöõ]06m@gâJ}Æ�m@c                 óÂ   — dd l }|                     | ¦  «        }d„ |                     ¦   «         D ¦   «         }t          |d         ¦  «        dk    sJ ‚|t          d d …<   d S )Nr   c                 ó,   — g | ]}t          |¦  «        ‘ŒS rO   )Úfloat)Ú.0r   s     r   ú
<listcomp>z$_load_zeta_zeros.<locals>.<listcomp>¾   s   € Ð)Ð)Ð)�a�ˆq‰ŒÐ)Ð)Ð)r   é   )ÚurllibÚurlopenÚ	readlinesÚroundÚ_zeta_zeros)Úurlr|   r<   ÚLs       r   Ú_load_zeta_zerosrƒ   »   sc   € Ø€M€M€MØ�Š�sÑÔ€AØ)Ð)˜1Ÿ;š;™=œ=Ð)Ñ)Ô)€Aå��1”‰;Œ;˜"ÒÐÐÐØ…K����N€N€Nr   ú2http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/zeros1c           	      óÈ  — t          |¦  «        }|dk     r(|                      | ¦  «                             ¦   «         S |dk    rt          d¦  «        ‚|t	          t
          ¦  «        k    r|dk    rt          |¦  «         |t	          t
          ¦  «        k    rt          d¦  «        ‚|                      d|  	                    | j
        t
          |dz
           ¦  «        ¦  «        S )Nr   zn must be nonzeroi † zn too large for zetazerosr"   r   )r*   ÚzetazeroÚ	conjugateÚ
ValueErrorÚlenr€   rƒ   rl   ÚmpcrF   rg   )r   r   r�   s      r   Úoldzetazeror‹   Ã   sÆ   € åˆA‰Œ€AØˆ1‚u€uØ�|Š|˜Q˜BÑÔ×)Ò)Ñ+Ô+Ð+ØˆA‚v€vÝÐ,Ñ-Ô-Ð-Ø�3�{ÑÔÒÐ  V¢ Ý˜ÑÔÐØ�3�{ÑÔÒÐÝ!Ð"=Ñ>Ô>Ð>Ø�7Š7�3˜Ÿš S¤[µ+¸aÀ¹cÔ2BÑCÔCÑDÔDÐDr   c           	      óú  — |dk    r| j         S t          |¦  «        dk    rj|                      |¦  «        }d|                      |                      |¦  «        ¦  «        z  }t          |¦  «        t          |¦  «        | j        z  k     r|S t          |¦  «        dk     r?| xj        t          |                      t          |¦  «        d¦  «         ¦  «        z  c_        | j        x}}|  	                    |¦  «        }d}t          |¦  «        t          |¦  «        | j        z  k    rV||z  |z  }||||  
                    |dz   ¦  «        z  z  z  }|dz  }t          |¦  «        t          |¦  «        | j        z  k    °V|S )Nr   éè  r"   g{®Gáz„?r   r   )r4   ri   ÚliÚsqrtÚepsr'   r*   r9   Úoner   Ú	_zeta_int)r   r   r   r=   r,   r:   ÚuÚks           r   Úriemannrr•   Ð   sL  € àˆA‚v€vØŒxˆå
ˆ1�v„v�‚}€}Ø�FŠF�1‰IŒIˆØ�—’�s—x’x ‘{”{Ñ#Ô#Ñ#ˆÝˆq‰6Œ6•C˜‘F”F˜3œ7‘NÒ"Ð"ØˆHÝ
ˆ1�v„v�‚}€}àˆŒ•C˜Ÿš¥ Q¡¤¨Ñ*Ô*Ð*Ñ+Ô+Ñ+ˆŒàŒG€O€AˆØ�Šˆq‰	Œ	€AØ	€AÝ
ˆa‰&Œ&•3�q‘6”6˜#œ'‘>Ò
!Ð
!Ø�‰E�A‰IˆØ	ˆQ�!�c—m’m A a¡CÑ(Ô(Ñ(Ñ)Ñ)ˆØ	ˆQ‰ˆõ ˆa‰&Œ&•3�q‘6”6˜#œ'‘>Ò
!Ð
!ð €Hr   c                 ót   — t          |¦  «        }|dk     rdS t          |                      |¦  «        ¦  «        S )Nr   r   )r*   r‰   Úlist_primes)r   r   s     r   Úprimepir˜   ç   s5   € åˆA‰Œ€AØˆ1‚u€uØˆqÝˆs�Š˜qÑ!Ô!Ñ"Ô"Ð"r   c                 óz  — t          |¦  «        }|dk     r| j        j        S |dk     r-| j                             |                      |¦  «        ¦  «        S |                      |¦  «        }|                      |d¬¦  «        |                      |d¬¦  «        z  dz  |                      d¬¦  «        z  }|  	                    | j                             |¦  «        |z
  j
        d¬¦  «        }|                      | j                             |¦  «        |z   j        d¬¦  «        }| j                             ||g¦  «        S )Nr   ia
  r“   )Úroundingr@   r<   )r*   Ú_ivr4   Úmpfr˜   rŽ   r�   r   r   Úfloorr   Úceilr=   )r   r   ÚmidÚerrr   r=   s         r   Úprimepi2r¡   ï   s  € åˆA‰Œ€AØˆ1‚u€uØŒwŒ|ÐØˆ4‚x€xØŒw�{Š{˜3Ÿ;š; q™>œ>Ñ*Ô*Ð*Ø
�&Š&�‰)Œ)€Cà
�(Š(�1˜cˆ(Ñ
"Ô
" 3§6¢6¨!°S 6Ñ#9Ô#9Ñ
9¸!Ñ
;¸C¿FºFÈC¸FÑ<PÔ<PÑ
P€CØ�	Š	�3”7—;’;˜sÑ#Ô# CÑ'Ô*°Sˆ	Ñ9Ô9€AØ�Š�#”'—+’+˜cÑ"Ô" 3Ñ&Ô)°CˆÑ8Ô8€AØŒ7�;Š;˜˜!�uÑÔÐr   c                 óœ  ‡ ‡‡— ‰                       ‰¦  «        r‰S ‰                      ‰¦  «        dk    rt          d¦  «        ‚‰dk    r‰ j        S ‰dk    r ‰                      ‰ j        ‰ j        ¦  «        S ‰                      ‰¦  «        }|‰ j        k    rd‰z  S ‰ j        t          |¦  «        z   Šˆ ˆˆfd„}‰  	                    |¦  «        S )Nr   z.prime zeta function defined only for re(s) > 0r   r"   c               3   óæ   •K  — ‰j         } d}	 |dz  }‰                     |¦  «        }|sŒ‰‰_         |‰                     ‰                     |‰z  ¦  «        ¦  «        z  |z  }|sd S | ‰_         |V — Œe)Nr   r   )r'   Úmoebiusr   rn   )r-   r”   r“   r:   r   r,   Úwps       €€€r   rU   zprimezeta.<locals>.terms  s�   øè è € Ø”8ˆDð ˆAðØ�Q‘�Ø—K’K ‘N”N�Øð ØØ�”Ø�c—f’f˜SŸXšX a¨¡c™]œ]Ñ+Ô+Ñ+¨AÑ-�Øð Ø�Fà�”Ø���ðr   )
ÚisnanÚrerˆ   r)   rŠ   r3   r   r'   r*   ro   )r   r,   ÚrrU   r¥   s   ``  @r   Ú	primezetar©   ý   sÝ   øøø€ à
‡y‚y��|„|ð ØˆØ
‡v‚vˆa�y„y�A‚~€~ÝÐIÑJÔJÐJØˆA‚v€vØŒwˆØˆC‚x€xØ�wŠw�s”x ¤Ñ(Ô(Ð(Ø�Šˆq‰	Œ	€AØˆ3Œ8‚|€|Ø�A‰vˆàŒX�˜A™œÑˆð	ð 	ð 	ð 	ð 	ð 	ð 	ð" ×Ò˜eÑ$Ô$Ð$r   c                 ó   ‡ ‡‡— t          ‰¦  «        Š‰dk     rt          d¦  «        ‚‰dk    s‰dk    r‰dk    r‰                      ‰¦  «        S ‰dk    r2‰                      dd‰z
  ¦  «        dz
  ‰                      ‰¦  «        z  S ‰dk    rA‰dk    r‰dz  S ‰dk    r‰dz
  S ‰dk    rd‰z  ‰dz
  z  dz   dz  S ‰dk    r‰‰‰dz
  z  dz   z  S ‰                      ‰¦  «        r‰‰z  S ‰                      ‰¦  «        r‰S t          ‰¦  «        dk    r"ˆ ˆˆfd	„}‰                      |¦  «        ‰‰z  z  S ˆ ˆˆfd
„}‰                      |¦  «        S )Nr   z-Bernoulli polynomials only defined for n >= 0r   r"   r   r   rc   g      ø?c               3   óÌ   •K  — ‰j         } | V — ‰j         ‰z  }d}|‰k    rC| ‰dz   |z
  z  |z  |z  } |dk    r|dz  s| ‰                     |¦  «        z  V — |dz  }|‰k    °Ad S d S r   )r‘   Ú	bernoulli)r:   r¨   r”   r   r   rR   s      €€€r   rU   zbernpoly.<locals>.terms6  s“   øè è € Ø”ˆAØˆGˆGˆGØ”˜‘	ˆAØˆAØ�q’&�&Ø�q˜‘s˜1‘u‘I˜a‘K ‘M�Ø˜Aš˜ ! a¡%˜Ø˜CŸMšM¨!Ñ,Ô,Ñ,Ð,Ð,Ð,Ø�Q‘�ð	 �q’&�&�&�&�&�&r   c               3   óè   •K  — ‰                      ‰¦  «        V — ‰j        } d}|‰k    rH| ‰dz   |z
  z  |z  ‰z  } ‰|z
  }|dk    r|dz  s| ‰                      |¦  «        z  V — |dz  }|‰k    °Fd S d S r   )r¬   r‘   )r:   r”   Úmr   r   rR   s      €€€r   rU   zbernpoly.<locals>.termsB  s    øè è € Ø—-’- Ñ"Ô"Ð"Ð"Ð"Ø”ˆAØˆAØ�q’&�&Ø�q˜‘s˜1‘u‘I˜a‘K !‘O�Ø�a‘C�Ø˜Aš˜ ! a¡%˜Ø˜CŸMšM¨!Ñ,Ô,Ñ,Ð,Ð,Ð,Ø�Q‘�ð �q’&�&�&�&�&�&r   )r*   rˆ   r¬   Úldexpr7   r¦   ri   ro   )r   r   rR   rU   s   ``` r   Úbernpolyr°   !  s´  øøø€ õ 	ˆA‰Œ€AØˆ1‚u€uÝÐHÑIÔIÐIØˆA‚v€v�!�q’&�&˜Q šU˜UØ�}Š}˜QÑÔÐØˆC‚x€xØ—	’	˜!˜A˜a™CÑ Ô  Ñ" C§M¢M°!Ñ$4Ô$4Ñ4Ð4ØˆA‚v€vØ�Š6ˆ6˜!˜q™&�=Ø�Š6ˆ6˜!˜c™'�>Ø�Š6ˆ6˜1˜Q™3  !¡™9 Q™;¨™/Ð)Ø�Š6ˆ6˜!˜Q  #¡™Y s™]Ñ+Ð+Ø
‡y‚y��|„|ð Ø�A‰vˆØ
‡y‚y��|„|ð ØˆÝ
ˆ1�v„v�‚z€zð		ð 		ð 		ð 		ð 		ð 		ð 		ð ×!Ò! %Ñ(Ô(¨1¨a©4Ñ/Ð/ð		ð 		ð 		ð 		ð 		ð 		ð 		ð ×!Ò! %Ñ(Ô(Ð(r   c                 ó$  ‡ ‡‡— t          ‰¦  «        Š‰dk     rt          d¦  «        ‚‰dk    r$‰dk    r‰dz  S ‰dk    r‰dz
  S ‰dk    r‰‰dz
  z  S ‰                      ‰¦  «        r‰‰z  S ‰                      ‰¦  «        r‰S ‰dz   }‰dk    r;d‰                      d|¦  «        dz
  z  ‰                      |¦  «        z  |z  ‰dz  z  S ‰dk    r;d‰                      d|¦  «        dz
  z  ‰                      |¦  «        z  |z  ‰dz  z  S ‰dk    rc‰dz  r‰ j        S ‰dk     s'‰‰                      d‰z  ¦  «        z  ‰ j        d	z  k     r*‰                      ‰  	                    ‰¦  «        ‰ ¦  «        S ˆ ˆˆfd
„}‰  
                    |¦  «        |z  S )Nr   z)Euler polynomials only defined for n >= 0r   r   r"   éþÿÿÿéd   g.eÏT>úÝ?r0   c               3   óü   •K  — ‰j         } d}‰                     d‰dz   ¦  «        }	 ‰|z
  dz   }|dk    r|dz  s d|z
  ‰                     |¦  «        z  | z  V — |dz  }|‰k    rd S | ‰z  ‰|z
  dz   z  |z  } |dz  }ŒW)Nr   r   r   r"   )r‘   r¯   r¬   )r:   r”   Úwr   r   r   rR   s       €€€r   rU   zeulerpoly.<locals>.termsg  s±   øè è € ØŒGˆØˆØ�IŠI�a˜˜!™ÑÔˆð	Ø�!‘�A‘ˆAØ˜’E�E˜a !™e�EØ˜‘s˜CŸMšM¨!Ñ,Ô,Ñ,¨QÑ.Ð.Ð.Ð.Ø�‰FˆAØ�1ŠuˆuØ�Ø�!‘�Q�q‘S˜‘U‘˜A‘ˆAØ�‰HˆAð	r   )r*   rˆ   r7   r¦   r¯   r¬   r4   r   r'   Ú	_eulernumro   )r   r   rR   r®   rU   s   ```  r   Ú	eulerpolyr·   N  sÕ  øøø€ åˆA‰Œ€AØˆ1‚u€uÝÐDÑEÔEÐEØˆA‚v€vØ�Š6ˆ6˜!˜q™&�=Ø�Š6ˆ6˜!˜c™'�>Ø�Š6ˆ6˜!˜Q˜q™S™'�>Ø
‡y‚y��|„|ð Ø�!‰tˆØ
‡y‚y��|„|ð ØˆØ	ˆ!‰€AØˆA‚v€vØ�3—9’9˜Q˜q‘>”> !Ñ#Ñ$ S§]¢]°1Ñ%5Ô%5Ñ5°aÑ7¸!¸Q¹$Ñ>Ð>ØˆA‚v€vØ�#—)’)˜A˜a‘.”. Ñ"Ñ# C§M¢M°!Ñ$4Ô$4Ñ4°QÑ6¸¸A¹Ñ=Ð=ØˆC‚x€xØˆq‰5ð 	Ø”8ˆOàˆsŠ7ˆ7�a˜Ÿš 
¨1¡Ñ-Ô-Ñ-°´¸±Ò=Ð=Ø—9’9˜SŸ]š]¨1Ñ-Ô-°¨rÑ2Ô2Ð2ðð ð ð ð ð ð ð ×Ò˜eÑ$Ô$ qÑ(Ð(r   Fc                 ó0  — t          |¦  «        }|r"t          |                      |¦  «        ¦  «        S |dk     r(|                      |                      |¦  «        ¦  «        S |dz  r| j        S |                      |                      |d¦  «        |¦  «        S )Nr³   r   r"   )r*   r¶   rœ   r4   r¯   r·   )r   r   Úexacts      r   Úeulernumrº   v  s‹   € åˆA‰Œ€AØð %Ý�3—=’= Ñ#Ô#Ñ$Ô$Ð$Øˆ3‚w€wØ�wŠw�s—}’} QÑ'Ô'Ñ(Ô(Ð(Øˆ1�uð ØŒxˆØ�9Š9�S—]’] 1 SÑ)Ô)¨1Ñ-Ô-Ð-r   c                 ó†   — | j         
 }| j        }d}|}	 |||z  z  }||z  }t          |¦  «        |k     rn||z  }|dz  }Œ,|S )Nr   )r�   r4   ri   )r   r,   rR   ÚtolÚlr”   ÚzkÚterms           r   Úpolylog_seriesrÀ   ‚  sg   € ØŒ7ˆ(€CØŒ€AØ	€AØ	
€BðØ�A�q‘D‰yˆØ	ˆT‰	ˆÝˆt‰9Œ9�sŠ?ˆ?ØØ
ˆa‰ˆØ	ˆQ‰ˆðð €Hr   c                 ó,  — |dk     r|dz  S d| j         z  }||z   |                      |¦  «        z  |                      ||                      |¦  «        |z  ¦  «        z  }|                      |¦  «        r|dk     r|                      |¦  «        }|                      |¦  «        dk     s2|                      |¦  «        dk    rS|                      |¦  «        dk    r:|||                      |¦  «        |dz
  z  z  |                      |dz
  ¦  «        z  z  }|S )Nr   y               @r   )r   Úfacr°   r   rk   r   r5   )r   r   rR   Útwopijr   s        r   Úpolylog_continuationrÄ   �  sù   € Øˆ1‚u€uØ�‰sˆ
Ø�#”&‰[€FØ	�‰ˆ
�3—7’7˜1‘:”:Ñ §¢¨Q°·²°q±	´	¸&Ñ0@Ñ AÔ AÑA€AØ
×Ò˜ÑÔð   A¢ Ø�GŠG�A‰JŒJˆØ
‡w‚wˆq�z„z�A‚~€~˜#Ÿ'š' !™*œ*¨š/˜/¨c¯gªg°a©j¬j¸Aªo¨oØ	ˆV�C—F’F˜1‘I”I  !¡Ñ$Ñ$ S§W¢W¨Q¨q©S¡\¤\Ñ1Ñ1ˆØ€Hr   c                 ó  — | j         
 }|dk    �r| j        }|                      |¦  «        }| j        }d}	 ||z
  dk    rL|                      ||z
  ¦  «        |z  |                      |¦  «        z  }|rt          |¦  «        |k     rn||z  }||z  }|dz  }Œ`||                      |¦  «        |dz
  z  |                      |dz
  ¦  «        z  |                      |dz
  ¦  «        |                      |                      |¦  «         ¦  «        z
  z  z  }nÅ|dk     r¸|                      | ¦  «        |                      |¦  «         |dz
  z  z  }|                      |¦  «        }| j        }	d}
	 |                      |
|z
  dz   ¦  «        }|r=||	z  |                      |
¦  «        |
|z
  dz   z  z  }t          |¦  «        |k     rn||z  }|	|z  }	|
dz  }
Œent          ‚|  
                    |¦  «        r|dk     r|                      |¦  «        }|S )Nr   r   )r�   r4   r   r‘   rn   rÂ   ri   Úharmonicr¬   rˆ   rk   r   )r   r   rR   r¼   r½   ÚlogzÚlogmzr®   r¿   Úlogkzr”   r=   s               r   Úpolylog_unitcirclerÊ   ›  s  € ØŒ7ˆ(€CØˆ1‚u�uØŒHˆØ�vŠv�a‰yŒyˆØ”ˆØˆð	Ø�!‘˜ŠzˆzØ—x’x  !¡‘}”} uÑ,¨s¯wªw°q©z¬zÑ9�Øð �C ™IœI¨šO˜OØØ�T‘	�Ø�T‰MˆEØ�‰FˆAð	ð 	
ˆS�VŠV�A‰YŒY˜˜1™Ñ˜cŸgšg a¨¡c™lœlÑ*¨C¯LªL¸¸1¹Ñ,=Ô,=¸c¿fºfÀcÇfÂfÈQÁiÄiÀZÑ>PÔ>PÑ,PÑQÑQˆˆØ	
ˆQŠˆØ�GŠG�Q�B‰KŒK˜#Ÿ&š& ™)œ)˜ q¨¡sÑ+Ñ+ˆØ�vŠv�a‰yŒyˆØ”ˆØˆð	Ø—’˜a ™c !™eÑ$Ô$ˆAØð Ø˜‘w §¢¨¡
¤
¨A¨a©C°©EÑ 2Ñ3�Ý�t‘9”9˜s’?�?ØØ�T‘	�Ø�T‰MˆEØ�‰FˆAð	ð
 õ
 ÐØ
×Ò˜ÑÔð   A¢ Ø�GŠG�A‰JŒJˆØ€Hr   c                 ón  — | j         }|                      |¦  «        }t          |¦  «        dk     s”| j        }d|z
  }|                      | ¦  «        d| j        z  |z  z  }|                      |¦  «        ||z  |                      |d|z   ¦  «        z  || z  |                      |d|z
  ¦  «        z  z   z  d| j        z  |z  z  S d}d}	 |                      ||z
  ¦  «        |z  }	t          |	¦  «        | j        k     rn||	z  }|dz  }||z  }||z  }ŒI|                      d|z
  ¦  «        | |dz
  z  z  |z   S )Né   r   r   r"   r   )r4   r   ri   r   r   Úgammarn   r�   )
r   r,   rR   r   r“   r   Úyr:   r”   r¿   s
             r   Úpolylog_generalrÏ   ¿  sM  € ØŒ€AØ�Šˆq‰	Œ	€AÝˆq‰6Œ6�AŠ:ˆ:ØŒEˆØˆa‰CˆØ�FŠF�A�2‰JŒJ˜˜#œ&™ ™
Ñ#ˆØ�yŠy˜‰|Œ|˜Q ™T #§(¢(¨1¨S°©UÑ"3Ô"3Ñ3°a¸!¸±e¸C¿HºHÀQÀsÈ1ÁuÑ<MÔ<MÑ6MÑMÑNÐPQÐRUÔRXÑPXÐ[\É}Ñ\Ð\Ø	€AØ	€AðØ�xŠx˜˜!™‰}Œ}˜qÑ ˆÝˆt‰9Œ9�s”wÒÐØØ	ˆT‰	ˆØ	ˆQ‰ˆØ	ˆQ‰ˆØ	ˆQ‰ˆðð �9Š9�Q�q‘S‰>Œ>˜A˜2  1¡™+Ñ%¨Ñ)Ð)r   c           	      ót  — |                       |¦  «        }|                       |¦  «        }|dk    r|                      |¦  «        S |dk    r|                      |¦  «         S |dk    r|d|z
  z  S |dk    r|                      d|z
  ¦  «         S |dk    r|d|z
  dz  z  S t	          |¦  «        dk    s(|                      |¦  «        s$t	          |¦  «        dk     rt          | ||¦  «        S t	          |¦  «        dk    rd|                      |¦  «        rOd|dz   z  t          | |d|z  ¦  «        z  t          | t          |  	                    |¦  «        ¦  «        |¦  «        z   S |                      |¦  «        r1t          | t          |  	                    |¦  «        ¦  «        |¦  «        S t          | ||¦  «        S )Nr   éÿÿÿÿr   r   ç      è?gÍÌÌÌÌÌì?gffffffö?)r#   rn   Úaltzetar   ri   r+   rÀ   rÄ   r*   r§   rÊ   rÏ   )r   r,   rR   s      r   ÚpolylogrÔ   Ó  s“  € à�Š�A‰Œ€AØ�Š�A‰Œ€AØˆA‚v€vØ�xŠx˜‰{Œ{ÐØˆB‚w€wØ—’˜A‘”ˆÐØˆA‚v€vØ�!�A‘#‰wˆØˆA‚v€vØ—’�q˜‘s‘”ˆ|ÐØˆB‚w€wØ�!�A‘#˜‘‰zÐÝ
ˆ1�v„v�‚~€~˜cŸiši¨™lœl€~­s°1©v¬v¸ª|¨|Ý˜c 1 aÑ(Ô(Ð(Ý
ˆ1�v„v�‚}€}˜Ÿš 1™œ€}Ø�a˜‘c‰{�>¨#¨q°!°A±#Ñ6Ô6Ñ6Õ9MÈcÕSVÐWZ×W]ÒW]Ð^_ÑW`ÔW`ÑSaÔSaÐcdÑ9eÔ9eÑeÐeØ
‡y‚y��|„|ð :Ý! #¥s¨3¯6ª6°!©9¬9¡~¤~°qÑ9Ô9Ð9Ý˜3  1Ñ%Ô%Ð%r   c                 óØ  — |                       |¦  «        r!|dk     rt          |¦  «        dz  dk    r|dz  S |r|                      |¦  «        }n|                      |¦  «        }|                      |¦  «        r>|                      |¦  «        r)|                      |                      ||¦  «        ¦  «        S d|z  }d|                      ||¦  «        |                      ||¦  «        z
  z  S )Nr   r   r   r1   )r+   r*   Úexpjpirm   rk   ÚimrÔ   ©r   r,   rR   r   r   r=   s         r   ÚclsinrÙ   é  sß   € à
‡y‚y��|„|ð ˜˜Aš˜¥# a¡&¤&¨1¡*°¢/ /Ø�‰sˆ
Ø	ð Ø�JŠJ�q‰MŒMˆˆà�HŠH�Q‰KŒKˆØ
×Ò˜ÑÔð ( × 1Ò 1°!Ñ 4Ô 4ð (Ø�vŠv�c—k’k ! AÑ&Ô&Ñ'Ô'Ð'Ø	ˆ!‰€AØ�C—K’K  !Ñ$Ô$ s§{¢{°1°QÑ'7Ô'7Ñ7Ñ8Ð8r   c                 óØ  — |                       |¦  «        r!|dk     rt          |¦  «        dz  dk    r|dz  S |r|                      |¦  «        }n|                      |¦  «        }|                      |¦  «        r>|                      |¦  «        r)|                      |                      ||¦  «        ¦  «        S d|z  }d|                      ||¦  «        |                      ||¦  «        z   z  S )Nr   r   r   r"   )r+   r*   rÖ   rm   rk   r§   rÔ   rØ   s         r   ÚclcosrÛ   ö  sß   € à
‡y‚y��|„|ð ˜˜Aš˜¥# a¡&¤&¨1¡*°¢/ /Ø�‰sˆ
Ø	ð Ø�JŠJ�q‰MŒMˆˆà�HŠH�Q‰KŒKˆØ
×Ò˜ÑÔð ( × 1Ò 1°!Ñ 4Ô 4ð (Ø�vŠv�c—k’k ! AÑ&Ô&Ñ'Ô'Ð'Ø	ˆ!‰€AØ�—’˜A˜aÑ Ô  3§;¢;¨q°Ñ#3Ô#3Ñ3Ñ4Ð4r   c                 ój   — 	  | j         |fi |¤ŽS # t          $ r |                      |¦  «        cY S w xY wrB   )Ú_altzetarl   Ú_altzeta_generic)r   r,   rq   s      r   rÓ   rÓ     sV   € ð'ØˆsŒ|˜AÐ(Ð( Ð(Ð(Ð(øÝð 'ð 'ð 'Ø×#Ò# AÑ&Ô&Ð&Ð&Ð&ð'øøøs   ‚ �2±2c                 óˆ   — |dk    r| j         d|z  z   S |                      dd|z
  ¦  «         |                      |¦  «        z  S )Nr   r   r   )Úln2Úpowm1rn   )r   r,   s     r   rÞ   rÞ   
  sE   € àˆA‚v€vØŒw˜˜1™‰}ÐØ�IŠI�a˜˜1™ÑÔÐ §¢¨¡¤Ñ+Ð+r   Nc                 ó¾  — t          |¦  «        }|dk    r#|s!|s	  | j        |fi |¤ŽS # t          $ r Y nw xY w|                      |¦  «        }| j        }|                     d¦  «        }|                     d¦  «        }|s3|s1|                      d¦  «        |                      |¦  «        d         z
  S |dk    rÔ|dk    rÎt          |  	                    |¦  «        ¦  «        }	t          |  
                    |¦  «        ¦  «        }
t          |	¦  «        d|z  k    rd|
z  |k     r|d	k    s|d
k    r_	 	 |rt          d¦  «          | j        ||fi |¤Ž|| _        S # t          $ r |rt          d¦  «         Y nw xY w	 || _        n# || _        w xY w|dk    r| j        S t          |¦  «        }|| j        k    r7|                      |¦  «        | j        k    r|dk    r| j        S | j        S |dz  S |                      |¦  «        rd|z  S |                      |¦  «        d| j        z  k    r'|dk    r!|s| j        |                      d| ¦  «        z   S  | j        |||fi |¤Ž
 S )Nr   ÚmethodÚverboser"   r   zeuler-maclaurinrJ   r!   rY   zriemann-siegelz4zeta: Attempting to use the Riemann-Siegel algorithmz0zeta: Could not use the Riemann-Siegel algorithmr   )r*   Ú_zetarl   r#   r'   rh   rœ   Ú_convert_paramri   r5   r   ÚprintÚrs_zetar)   r§   r‘   r4   r¦   ÚpowerÚ_hurwitz)r   r,   r   r;   rã   rq   r<   r'   rä   r×   r§   Úabsss               r   rn   rn     s»  € åˆJ‰Œ€AØˆA‚v€v�q€v˜F€vð	Ø�3”9˜QÐ)Ð) &Ð)Ð)Ð)øÝ"ð 	ð 	ð 	ØˆDð	øøøà�Š�A‰Œ€AØŒ8€DØ�ZŠZ˜Ñ!Ô!€FØ�jŠj˜Ñ#Ô#€GØð 7˜
ð 7Ø�wŠw�s‰|Œ|˜c×0Ò0°Ñ3Ô3°AÔ6Ñ6Ð6ØˆA‚v€v�&Ð-Ò-Ð-Ý�—’˜‘”‰_Œ_ˆÝ�—’˜‘”‰_Œ_ˆõ ˆr‰7Œ7�S˜‘XÒÐ " R¡%¨$¢, ,°:À²?°?ØÐ&Ò&Ð&ð
 ðØð VÝÐTÑUÔUÐUØ&˜3œ; q¨*Ð?Ð?¸Ð?Ð?ð  �”�øõ +ð ð ð Øð RÝÐPÑQÔQÐQØ�Dðøøøð à�”�ø˜4�”����ØˆA‚v€vØŒwˆÝˆq‰6Œ6€DØˆsŒw‚€Ø�6Š6�!‰9Œ9˜œÒÐØ�AŠvˆvØ”w�Ø”8ˆOØ�‰sˆ
Ø	�Š�4‰Œð Ø�‰sˆ
Ø
‡v‚vˆa�y„y�1�S”X‘:ÒÐ ! q¢& &° &ØŒw˜Ÿš 1 q bÑ)Ô)Ñ)Ð)ØˆCŒL˜˜A˜qÐ+Ð+ FÐ+Ð+Ð+Ð+s0   ›) ©
6µ6Ä1E ÅE6Å3F Å5E6Å6F Æ	Fc                 óz  — | j         }|                     d¦  «        }	 d}| xj         |z  c_         |                      |¦  «        \  }}|                      |¦  «        dk     rM|rt	          d¦  «         	 t          | ||||¦  «        || _         S # t          $ r Y nw xY w|rt	          d¦  «         |rt	          d¦  «         	 ||z   | _         t          | ||||dz   |¦  «        \  }	}
|                      |	¦  «        |                      |	|
z   ¦  «        z
  }|r1t	          d|	¦  «         t	          d	|
¦  «         t	          d
|d¦  «         ||k     r|	|
z   || _         S t          d|z  t          |dz   d|z  ¦  «        ¦  «        }||                     dd|z  ¦  «        k    r|                      d¦  «        ‚Œñ# || _         w xY w)Nrä   r!   r   z#zeta: Attempting reflection formulazzeta: Reflection formula failedz)zeta: Using the Euler-Maclaurin algorithmr   zTerm 1:zTerm 2:zCancellation:Úbitsr   rÌ   r³   Úmaxpreczzeta: too much cancellation)r'   rh   ræ   r§   rç   Ú_hurwitz_reflectionrl   Ú_hurwitz_emr   ÚmaxÚminÚNoConvergence)r   r,   r   r<   rq   r'   rä   Ú	extraprecÚatypeÚT1ÚT2Úcancellations               r   rê   rê   F  s  € àŒ8€DØ�jŠj˜Ñ#Ô#€GðØˆ	ØˆŒ�IÑˆŒà×%Ò% aÑ(Ô(‰ˆˆ5Ø�6Š6�!‰9Œ9�qŠ=ˆ=Øð =ÝÐ;Ñ<Ô<Ð<ðÝ*¨3°°1°a¸Ñ?Ô?ð, ˆŒˆøõ+ 'ð ð ð Ø�ðøøøàð 9ÝÐ7Ñ8Ô8Ð8Øð 	?ÝÐ=Ñ>Ô>Ð>ð	KØ˜iÑ'ˆCŒHÝ   a¨¨A¨t°B©w¸Ñ@Ô@‰FˆB�ØŸ7š7 2™;œ;¨¯ª°°B±©¬Ñ7ˆLØð =Ý�i Ñ$Ô$Ð$Ý�i Ñ$Ô$Ð$Ý�o |°VÑ<Ô<Ð<Ø˜iÒ'Ð'Ø˜B‘wð ˆŒˆõ	    )¡­S°ÀÑ1AÀ3ÀtÁ8Ñ-LÔ-LÑMÔM�	Ø˜vŸzšz¨)°S¸±XÑ>Ô>Ò>Ð>Ø×+Ò+Ð,IÑJÔJÐJð	Køð ˆŒˆˆˆˆs2   žAF1 Á3B Â
BÂF1 ÂBÂB5F1 ÅAF1 Æ1	F:c                 ó¦  ‡ ‡‡‡— |dk    rt           ‚‰                      |¦  «        }| }‰                      |¦  «        r4t          |¦  «        }|dk    r‰                      d|z
  |¦  «        |dz
  z  S |dk    s|dk    st           ‚d|z
  Šd}d}	|Š‰                      ‰¦  «        dk    r+‰dz  Š|‰|z  z  }|	dz  }	‰                      ‰¦  «        dk    °+‰                      ‰¦  «        dk    r+|‰|z  z  }‰dz  Š|	dz  }	‰                      ‰¦  «        dk    °+	 |j        \  }
Šn-#  |t          |¦  «        k    sJ ‚t          |¦  «        }
dŠY nxY w|
|	‰z  z  }
d|
cxk    r‰k    sn J ‚‰                      ˆˆ ˆˆfd„t          d‰dz   ¦  «        D ¦   «         ¦  «        }|d‰                      ‰¦  «        z  d‰ j	        z  ‰z  ‰z  z  z  }||z  }|S )Nr   r   ÚQÚZc              3   óŒ   •K  — | ]>}‰                      ‰d z  d |z  ‰z  z
  ¦  «        ‰                     ‰|‰f¦  «        z  V — Œ?dS )r   N)Úcospirê   )ry   r”   r=   r   Úqr:   s     €€€€r   ú	<genexpr>z&_hurwitz_reflection.<locals>.<genexpr>Ž  sj   øè è € ð ð Øð —’˜1˜Q™3˜q ™s 1™u™9Ñ%Ô% c§l¢l°1°a¸°UÑ&;Ô&;Ñ;ð ð ð ð ð ð r   r   )
rl   r§   Úisnpintr*   r°   Ú_mpq_ÚfsumÚrangerÍ   r   )r   r,   r   r<   rõ   ÚresÚnegsr   r   ÚshiftÚprG   r=   rþ   r:   s   `           @@@r   rï   rï   k  s(  øøøø€ àˆA‚v€vÝ!Ð!Ø
�&Š&�‰)Œ)€CØˆ2€Dà
‡{‚{�1�~„~ð 0Ý�‰HŒHˆØ�Š6ˆ6Ø—<’<  !¡ QÑ'Ô'¨1¨Q©3Ñ/Ð/Ø�SŠLˆL˜E SšL˜LÝ!Ð!Ø	ˆ!‰€Aà	€AØ€EØ	€AØ
�&Š&�‰)Œ)�aŠ-ˆ-Ø	ˆQ‰ˆØ	ˆQ�‰W‰ˆØ�‰
ˆð �&Š&�‰)Œ)�aŠ-ˆ-ð �&Š&�‰)Œ)�qŠ.ˆ.Ø	ˆQ�‰W‰ˆØ	ˆQ‰ˆØ�‰
ˆð �&Š&�‰)Œ)�qŠ.ˆ.ð
ØŒw‰ˆˆ1ˆ1øðØ•C˜‘F”FŠ{ˆ{ˆ{ˆ{Ý�‰FŒFˆØˆˆˆøøøØˆˆq‰�L€AØ�ˆ;ˆ;Š;ˆ;�QŠ;ˆ;ˆ;ˆ;ˆ;ˆ;Ø�Šð ð ð ð ð ð ð Ý�q˜˜1™‘”ðñ ô ñ 	ô 	€Aàˆˆ3�9Š9�Q‰<Œ<‰˜˜3œ6™ !™ a™Ñ	'Ñ'€AØˆ�F€AØ€Hs   Ä
D% Ä%(Ec           
      óJ  — |                       |¦  «        }| }d}|dz  }|}	d}
|                      |¦  «        r"t          |                      |¦  «        ¦  «        }|dz
  }	 |                      |||z   ||z
  dz
  |g¦  «        d         d         }|
|z  }
||z   }|                      |¦  «        }||z  }|g}d|z  }d|z  }|| z  }|r&|                      |dz   ||z  ¦  «        ||dz   z  z  }nd|||z  z  z  }|d|z  |z  z  }dg}|}d}t          d|	dz   ¦  «        D �]1}d|z  }|dk    rdg}n
|dz
  |dz
  g}|D ]§}t          ||dz   ¦  «        }||k    r| 	                    |d         |z  ¦  «         dg|dz   z  }t          |¦  «        D ]}d|z
  |z
  ||         z  ||<   Œt          d|dz   ¦  «        D ]$}||xx         ||dz
  z
  ||dz
           z  z  cc<   Œ%|}||z  }Œ¨|                      ||¦  «        |z  |                      |¦  «        z  | z  }||z  }|                      |¦  «        |k     r|
d|z  |z  fc S ||dz   |dz   z  z  }�Œ3|r(t          d||d|                      |¦  «        d	|¦  «         ||dz  }}|                      |¦  «        dk     r|	|	dz  z  }	�ŒD)
Nr   r   r   r"   r   rÑ   z
Sum range:zterm magnitudeÚ	tolerance)r#   r+   r*   r   Ú_zetasumr   Úgammaincr  rò   Úappendr   Úfdotr¬   r   rç   r§   ) r   r,   r   r<   r'   rä   r¼   ÚM1ÚM2ÚNÚlsumÚs1r½   ÚM2aÚlogM2aÚlogM2adÚlogsÚlogrÚrM2aÚM2asÚtailsumÚUr¨   Úfactr   Új2Úupdsr®   ÚDÚUnÚir:   s                                    r   rð   rð   ”  sE  € à�Š�A‰Œ€AØˆ%€Cà	
€BØ	�‰€BØ
€AØ€Dà
‡y‚y��|„|ð Ý�—’˜‘
”
‰OŒOˆØ	
ˆ1‰€Bð0à�LŠL˜˜B˜q™D " R¡%¨¡'¨A¨3Ñ/Ô/°Ô2°1Ô5ˆð
 	�‰	ˆØ�‰dˆØ—’˜‘”ˆØ˜!‘)ˆØˆyˆØ�‰xˆØ�‰uˆØ�a�R‰yˆØð 	)Ø—l’l 1 Q¡3¨¨6©	Ñ2Ô2°R¸!¸A¹#±YÑ>ˆGˆGà˜"˜s R™i™Ñ(ˆGØ�3˜‘= 4Ñ'Ñ'ˆØˆCˆØˆØˆÝ�q˜!˜A™#‘”ð 	"ñ 	"ˆAà�1‘ˆBØ�AŠvˆvØ�s��à˜1™˜b ™d�|�Øð ð �Ý˜˜!˜A™#‘J”J�Ø˜’6�6Ø—K’K  R¤¨4¡Ñ0Ô0Ð0Ø�S˜!˜A™#‘Y�Ý ™œÐ8Ð8�A¨Q¨q©S°©U°A°a´D©L B q¡E EÝ  ! A¡#™œÐAÐA�A¨¨1¨¨¬°!°Q°q±S±'¸1¸Q¸q¹S¼6Ñ1AÑ(A¨¨©¨Ø�Ø�T‘	��Ø—’˜˜DÑ!Ô! AÑ%¨¯ª°bÑ(9Ô(9Ñ9¸D¸5ÑAˆAØ�q‰LˆGØ�wŠw�q‰zŒz˜CÒÐØ˜b 1™W wÑ.Ð.Ð.Ð.Ð.Ø�R˜‘T˜B˜q™D‘MÑ!ˆD‰DØð 	XÝ�,  BÐ(8¸#¿'º'À!¹*¼*ÀkÐSVÑWÔWÐWØ�R˜‘TˆBˆØ�6Š6�!‰9Œ9�qŠ=ˆ=Ø��A‘‰IˆAña0r   c                 óz  ‡ ‡‡‡— t          ‰                      |¦  «        ¦  «        d‰ j        z  k     r*	 ‰                      |‰|||¦  «        S # t          $ r Y nw xY w‰                      |d¬¦  «        Š|dgk    }t          |¦  «        dk    }|s€|s5‰                      ˆˆfd„t          |dz   ¦  «        D ¦   «         ¦  «        gg fS |rG|d         Š‰                      ˆˆ ˆˆfd„t          |dz   ¦  «        D ¦   «         ¦  «        }d‰z  |z  gg fS t          |¦  «        }	|st          |	dz   ¦  «        }ˆ fd	„|D ¦   «         }
|rˆ fd
„|D ¦   «         }ng }t          |dz   ¦  «        D ]Ò}‰|z   }|‰z  }|r ‰                      ‰ j        ||z  z  ¦  «        }|r€‰                      |¦  «         }|r.||	z  }|
dxx         ||z  z  cc<   |r|dxx         ||z  z  cc<   Œv‰ j        }|D ]/Š|
‰xx         ||z  z  cc<   |r|‰xx         ||z  z  cc<   ||z  }Œ0Œ°|
dxx         |z  cc<   |r|dxx         |z  cc<   ŒÓ|
|fS )a§  
    Returns [xd0,xd1,...,xdr], [yd0,yd1,...ydr] where

    xdk = D^k     ( 1/a^s     +  1/(a+1)^s      +  ...  +  1/(a+n)^s     )
    ydk = D^k conj( 1/a^(1-s) +  1/(a+1)^(1-s)  +  ...  +  1/(a+n)^(1-s) )

    D^k = kth derivative with respect to s, k ranges over the given list of
    derivatives (which should consist of either a single element
    or a range 0,1,...r). If reflect=False, the ydks are not computed.
    r"   T©r¹   r   r   c              3   ó(   •K  — | ]}‰|z   ‰z  V — Œd S rB   rO   )ry   r”   r   r  s     €€r   rÿ   z_zetasum.<locals>.<genexpr>í  s+   øè è € Ð>Ð>¨Q˜a ™c D™[Ð>Ð>Ð>Ð>Ð>Ð>r   c              3   ó`   •K  — | ](}‰                      ‰|z   ¦  «        ‰z  ‰|z   ‰z  z  V — Œ)d S rB   )r   )ry   r”   r   r   r<   r  s     €€€€r   rÿ   z_zetasum.<locals>.<genexpr>ð  sB   øè è € ÐKÐK¸!˜Ÿš  !¡™œ a™¨1¨Q©3°©+Ñ5ÐKÐKÐKÐKÐKÐKr   rÑ   c                 ó   •— g | ]	}‰j         ‘Œ
S rO   ©r4   ©ry   r<   r   s     €r   rz   z_zetasum.<locals>.<listcomp>õ  s   ø€ Ð	(Ð	(Ð	(�qˆ#Œ(Ð	(Ð	(Ð	(r   c                 ó   •— g | ]	}‰j         ‘Œ
S rO   r'  r(  s     €r   rz   z_zetasum.<locals>.<listcomp>÷  s   ø€ Ð,Ð,Ð,˜1ˆcŒhÐ,Ð,Ð,r   )ri   r§   r'   Ú_zetasum_fastrl   Úfnegr‰   r  r   rñ   r  Úconjr‘   r   )r   r,   r   r   ÚderivativesÚreflectÚhave_derivativesÚhave_one_derivativer   ÚmaxdÚxsÚysr”   rµ   ÚxtermÚytermÚlogwr:   r<   r  s   ` `               @@r   r
  r
  Õ  s  øøøø€ õ ˆ3�6Š6�!‰9Œ9�~„~˜˜cœh™Ò&Ð&ð	Ø×$Ò$ Q¨¨1¨k¸7ÑCÔCÐCøÝ"ð 	ð 	ð 	ØˆDð	øøøà�8Š8�A˜Tˆ8Ñ"Ô"€DØ" q cÒ)ÐÝ˜kÑ*Ô*¨aÒ/ÐØð %Øð 	DØ—H’HÐ>Ð>Ð>Ð>Ð>µ&¸¸1¹±+´+Ð>Ñ>Ô>Ñ>Ô>Ð?ÀÐCÐCØð 	%Ø˜A”ˆAØ—’ÐKÐKÐKÐKÐKÐKÐK½vÀaÈÁc¹{¼{ÐKÑKÔKÑKÔKˆAØ˜!‘G˜a‘K�= "Ð$Ð$Ýˆ{ÑÔ€DØð $Ý˜D ™F‘m”mˆØ	(Ð	(Ð	(Ð	(˜KÐ	(Ñ	(Ô	(€BØð Ø,Ð,Ð,Ð, Ð,Ñ,Ô,ˆˆàˆÝ�A�a‘C‰[Œ[ð ð ˆØ�‰EˆØ�T‘	ˆØð 	4Ø—H’H˜SœW¨¨E©	Ñ2Ñ3Ô3ˆEØð 	Ø—F’F˜1‘I”I�:ˆDØ"ð Ø˜t‘|�Ø�1��”˜ ™Ñ%��‘Øð *Ø�q�E�E”E˜U T™\Ñ)�E�E‘Eøà”G�Ø$ð ð �AØ�q�E�E”E˜U Q™YÑ&�E�E‘EØð +Ø˜1˜˜œ ¨¡Ñ*˜˜™Ø˜‘I�A�Að	ð ˆqˆEˆEŒE�U‰NˆEˆE‰EØð Ø�1��”˜‘��‘øØˆrˆ6€Ms   ´A Á
AÁAc           	      óð  — |                       |¦  «        }t          |¦  «        }t          |¦  «        }|dk    rt          d¦  «        ‚| j        }	 | xj        dz  c_        |dk    rEd}|D ]/}|r+|dk    r%d}| j        
 }	| xj        d|dz   z  z  c_        ||	z  }Œ0|r| j        
 || _        S | j        }
t          d|dz   ¦  «        D ]’}|||z           r…|dk    rX|
|||z           |  	                    |||fd¦  «        |  	                    |||f¦  «        |  
                    |¦  «        z  z
  z  z  }
Œk|
|||z           |  	                    |||f¦  «        z  z  }
Œ“|
||z  z  }
|| _        n# || _        w xY w|

 S )Nr   zarbitrary order derivativesr!   r   TF)r#   r‰   r*   rl   r'   r�   r)   r4   r  rn   r9   )r   r,   Úchir;   rþ   r<   r'   Ú	have_poler   ru   rR   r  s               r   Ú	dirichletr:    sÀ  € à�Š�A‰Œ€AÝˆC‰Œ€AÝˆJ‰Œ€AØˆ1‚u€uÝ!Ð"?Ñ@Ô@Ð@ØŒ8€DðØˆŒ�B‰ˆŒØ�Š6ˆ6ØˆIØð ð �Øð ˜˜aš˜Ø %�IØœ˜�AØ�H”H  1 Q¡3¡Ñ'�H”HØ˜‘F�AøØð  Øœ�xð ˆŒˆð ŒHˆÝ�q˜˜1™‘”ð 	7ð 	7ˆAØ�1�Q‘3Œxð 7Ø˜’6�6Ø˜˜Q˜q™Sœ S§X¢X¨a°!°A°¸Ñ%:Ô%:ØŸš  Q q EÑ*Ô*¨3¯7ª7°1©:¬:Ñ5ñ&6ñ 7ñ 7�A�Að ˜˜Q˜q™Sœ C§H¢H¨Q°°1°Ñ$6Ô$6Ñ6Ñ6�AøØ	ˆQ�‰T‰	ˆàˆŒˆø�4ˆŒˆˆˆˆØˆ2€Is   ÁAE) Â,B5E) Å)	E2c                 ó”  ‡ ‡‡‡— ‰ j         }ˆˆ ˆˆfd„}‰ j        x}}‰ j        }d}	||k    rR||z  }|	dz  }	‰                      ‰                      |	¦  «        ¦  «        Š ||	¦  «        }t          |¦  «        }||k    °Rd}
|                     d¦  «        r¯‰                      ‰¦  «        }d‰ j        dz  z  t          d|¦  «        z  ‰|dz
  z  z  ‰  
                    ‰d‰ j        z  z  ¦  «        z  ‰                      d‰‰dz  z  ¦  «        z  t          ‰                      ‰dz  ¦  «        ¦  «        z  }
t          |
¦  «        }
|
 |
|	fS )	Nc                 óT   •— ‰                      d‰z  ‰‰dz  z  d¬¦  «        ‰‰ z  z  S )Nr"   r   T)Úregularized)r  )r   r   r   Úgammr,   s    €€€€r   rC   z&secondzeta_main_term.<locals>.<lambda>7  s0   ø€ �#—,’,˜s 1™u a¨¨a©¡i¸T�,ÑBÔBÀ4È1È"Á:ÑM€ r   r   r   Úerrorr"   rÑ   r   r2   )r�   r4   r)   r×   Úzetazero_memoizedri   rh   r§   r   rñ   r9   r  rÍ   )r   r,   r   rq   r¼   r   Útotsumr¿   Úmgr   r    Úsgr>  s   ```         @r   Úsecondzeta_main_termrD  5  s]  øøøø€ Ø
Œ'€CØMÐMÐMÐMÐMÐMÐM€AØ”HÐ€FˆTØ	Œ€BØ	€AØ
ˆsŠ(ˆ(Ø�$‰ˆØ	ˆQ‰ˆØ�vŠv�c×+Ò+¨AÑ.Ô.Ñ/Ô/ˆØˆq�‰tŒtˆÝ�‰YŒYˆð ˆsŠ(ˆ(ð €CØ‡z‚z�'ÑÔð Ø�VŠV�A‰YŒYˆØ�#”&˜2‘,Ñ�s 1 R™yœyÑ(¨¨R°©V©Ñ4°S·W²W¸TÀ1ÀSÄVÁ8¹_Ñ5MÔ5MÑMØ�\Š\˜$  $¨¡'¡	Ñ*Ô*ñ+Ý+.¨s¯yªy¸¸1¹©~¬~Ñ+>Ô+>ñ?ˆå�#‰hŒhˆØˆ7�C˜ˆ?Ðr   c                 ó  ‡ ‡‡— ‰ j         }ˆˆ ˆfd„}‰ j        x}}‰ j        }d}	||k    s|	dk     r>||z  }|	dz  }	 ||	¦  «        }|dk    r‰ j        }nt          |¦  «        }||k    °8|	dk     °>|                     d¦  «        r|}
|
 |
|	fS )Nc                 ó~  •— ‰                      dd‰z
  z  d‰                     | ¦  «        dz  z  ‰dz  z  ¦  «        d‰                     | ¦  «        z  ‰dz
  z  z  ‰                     | ¦  «        z  ‰                     | ¦  «        z  d‰                     d‰z  ¦  «        z  ‰                     ‰j        ¦  «        z  z  S )Nr"   r   r0   r   rÑ   )r  r9   Úmangoldtr�   rÍ   r   ©r   r   r   r,   s    €€€r   rC   z'secondzeta_prime_term.<locals>.<lambda>K  s¬   ø€ �#—,’,˜s A a¡C™y¨¨c¯gªg°a©j¬j¸!©mÑ);¸aÀ"¹gÑ)EÑFÔFØ
ˆc�gŠg�a‰jŒj‰.˜A˜a™CÑ	 ñ"Ø"%§,¢,¨q¡/¤/ñ2Ø25·(²(¸1±+´+ñ>à	
ˆ3�9Š9�S˜‘UÑÔÑ	˜CŸHšH S¤VÑ,Ô,Ñ	,ñ.€ r   r   é	   r   r?  )r�   r4   r)   ri   rh   )r   r,   r   rq   r¼   r   rA  r¿   rB  r   r    s   ```        r   Úsecondzeta_prime_termrJ  I  sÏ   øøø€ Ø
Œ'€Cð	.ð 	.ð 	.ð 	.ð 	.ð 	.€Að ”HÐ€FˆTØ	Œ€BØ	€AØ
ˆsŠ(ˆ(�a˜!’e�eØ�$‰ˆØ	ˆQ‰ˆØˆq�‰tŒtˆØ�1Š9ˆ9Ø”ˆBˆBå�T‘”ˆBð ˆsŠ(ˆ(�a˜!’e�eð ‡z‚z�'ÑÔð ØˆØˆ7�C˜ˆ?Ðr   c                 ó  ‡ ‡‡— ‰                       ‰¦  «        ri‰                      ‰¦  «        dk    rPt          t          ‰                      ‰¦  «        ¦  «        ¦  «        }|dz  s‰                      d¦  «        | dz  z  S ‰ j        }ˆˆ ˆfd„}‰ j        } |d¦  «        }‰ j        }d}	||k    r*||z  }|	dz  }	 ||	¦  «        }t          |¦  «        }||k    °*‰d‰z  z  |z  ‰  	                    d‰z  ¦  «        z  }
|
S )Nr   r   z-0.25r   c                 óR   •— d‰z  | z  | d‰z  z   ‰                      | ¦  «        z  z  S )Nr0   r"   )rÂ   rH  s    €€€r   rC   z%secondzeta_exp_term.<locals>.<lambda>c  s+   ø€ �4˜‘6˜A‘+  # a¡%¡¨¯ª°©¬Ñ3Ñ4€ r   r"   )
r+   r§   r*   r   rœ   r�   r4   r)   ri   rÍ   )r   r,   r   r®   r¼   r   rA  r¿   rB  r   r   s   ```        r   Úsecondzeta_exp_termrM  ]  s  øøø€ Ø
‡y‚y��|„|ð -˜Ÿš˜q™	œ	 Qš˜Ý•�c—f’f˜Q‘i”iÑ Ô Ñ!Ô!ˆØ�1‰uð 	-Ø—7’7˜7Ñ#Ô# q b¨!¡eÑ,Ð,Ø
Œ'€CØ4Ð4Ð4Ð4Ð4Ð4€AØŒX€FØˆ1ˆQ‰4Œ4€DØ	Œ€BØ	€AØ
ˆsŠ(ˆ(Ø�$‰ˆØ	ˆQ‰ˆØˆq�‰tŒtˆÝ�‰YŒYˆð	 ˆsŠ(ˆ(ð
 	
ˆC�‰E‰
�6Ñ˜#Ÿ)š) C¨¡EÑ*Ô*Ñ*€AØ€Hr   c           	      óæ  ‡ ‡‡— ‰d‰dz
  z  z  d‰                       ‰ j        ¦  «        z  ‰                      d‰z  ¦  «        z  z  }‰                      |¦  «        }‰ xj        |z  c_        ‰d‰dz
  z  z  d‰                       ‰ j        ¦  «        z  ‰                      d‰z  ¦  «        z  z  }‰ j        }ˆˆ ˆfd„}‰ j        }‰ j        }	d}
 ||
¦  «        }t          |¦  «        }||k    rM||	k    rG||z  }|
dz  }
 ||
¦  «        }||z  }|
dz  }
 ||
¦  «        }|}	t          |¦  «        }||k    r||	k    °G||z  }d‰dz
  dz  z  ‰ j	        ‰  
                    d‰ j        dz  z  ‰z  ¦  «        z   ‰dz
  dz  z  z   }|||z   z  }d	}|                     d
¦  «        rÂ||k    r||	k    sž||k    rI‰                      d¦  «        t          ‰  
                    t          ||z  ¦  «        d¦  «        ¦  «        z  }||	k    rI‰                      d¦  «        t          ‰  
                    t          ||	z  ¦  «        d¦  «        ¦  «        z  }t          |‰ j        dz  ¦  «        }‰ xj        |z  c_        |
 |fS )Nr"   r   rY   c                 óØ   •— ‰                      | d¦  «        d‰                     ‰¦  «        z  | z  z  ‰                     d| z  ¦  «        z  ‰| z   dz
  ‰                     | ¦  «        z  z  S )NrÒ   rY   r"   r   )r°   r�   rÍ   rÂ   rH  s    €€€r   rC   z*secondzeta_singular_term.<locals>.<lambda>v  sd   ø€ �#—,’,˜q Ñ&Ô&¨¨#¯(ª(°1©+¬+©¸Ñ'9Ñ9Ø
‡y‚y��Q‘ÑÔñØ˜A™#˜a™% §¢¨¡¤Ñ+ñ-€ r   r²   é   r   rÑ   r   r?  r!   ç      ð?)r�   r   rÍ   r   r'   r�   r4   r)   ri   r&   r9   rh   rœ   r*   rñ   )r   r,   r   rq   Úfactorrô   r¼   r   rA  Úmg1r   r¿   Úmg2ÚpoleÚstr    s   ```             r   Úsecondzeta_singular_termrW  p  s•  øøø€ Ø��a˜‘c‘‰^˜Q˜sŸxšx¨¬Ñ/Ô/Ñ/°·	²	¸#¸a¹%Ñ0@Ô0@Ñ@ÑA€FØ—’˜‘”€IØ€H„H�	Ñ€H„HØ��a˜‘c‘‰^˜Q˜sŸxšx¨¬Ñ/Ô/Ñ/°·	²	¸#¸a¹%Ñ0@Ô0@Ñ@ÑA€FØ
Œ'€Cð	-ð 	-ð 	-ð 	-ð 	-ð 	-€AàŒX€FØ
Œ'€CØ	€AØˆ1ˆQ‰4Œ4€DÝ
ˆd‰)Œ)€CØ
�Š)ˆ)˜˜sš
˜
Ø�$‰ˆØ	ˆQ‰ˆØˆq�‰tŒtˆØ�$‰ˆØ	ˆA‰ˆØˆq�‰tŒtˆØˆÝ�$‰iŒiˆð �Š)ˆ)˜˜sš
˜
ð ˆd�N€FØˆq�‰s�b‰k‰>˜3œ9 S§W¢W¨R°´¸±	©\¸!©^Ñ%<Ô%<Ñ<¸qÀ¹sÀb¹kÑIÑI€DØ	��f‘Ñ	€BØ
€CØ‡z‚z�'ÑÔð #Ø�s’� ¨¢ Ø�cŠzˆzØ—g’g˜b‘k”k¥3 s§w¢w­s°6¸#±:©¬¸rÑ'BÔ'BÑ#CÔ#CÑC�Ø�SŠyˆyØ—g’g˜b‘k”k¥3 s§w¢w­s°6¸#±:©¬¸rÑ'BÔ'BÑ#CÔ#CÑC�Ý�#�s”w˜r‘zÑ"Ô"ˆØ€H„H�	Ñ€H„HØˆ3�ˆ8€Or   ç¸…ëQ¸Ž?c                 ó`  — |                       |¦  «        }|                       |¦  «        }| j        }|                      |¦  «        r´|                      |¦  «        dk    r›t	          |dz
  ¦  «        |dz  k     r| j        S t          t          |                      |¦  «        ¦  «        ¦  «        }|dz  r| j        S d| dz  z  |                      d|  	                    | d¬¦  «        z
  d| dz   z  ¦  «        z  S | j
        }	 t          | ||¦  «        }t          |                      |¦  «        d	¦  «        }| xj
        |dz   z  c_
        t          | ||d
d
¬¦  «        \  }	}
}t          | ||d
d
¬¦  «        \  }}}t!          | ||d
¬¦  «        \  }}t          | ||¦  «        }|
|z   |z   }|	|z
  |z   |z
  }|                     d¦  «        rbt%          d|	¦  «         t%          d|d¦  «         t%          d|¦  «         t%          d|d¦  «         t%          d|¦  «         t%          d|¦  «         || _
        n# || _
        w xY w|                     d¦  «        rYt          |                      t	          |¦  «        ¦  «        d	¦  «        }t          |d|z  z  | j        dz  d|z  z  ¦  «        }|
 |fS |
 S )a§  
    Evaluates the secondary zeta function `Z(s)`, defined for
    `\mathrm{Re}(s)>1` by

    .. math ::

        Z(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\tau_n^s}

    where `\frac12+i\tau_n` runs through the zeros of `\zeta(s)` with
    imaginary part positive.

    `Z(s)` extends to a meromorphic function on `\mathbb{C}`  with a
    double pole at `s=1` and  simple poles at the points `-2n` for
    `n=0`,  1, 2, ...

    **Examples**

        >>> from mpmath import *
        >>> mp.pretty = True; mp.dps = 15
        >>> secondzeta(2)
        0.023104993115419
        >>> xi = lambda s: 0.5*s*(s-1)*pi**(-0.5*s)*gamma(0.5*s)*zeta(s)
        >>> Xi = lambda t: xi(0.5+t*j)
        >>> chop(-0.5*diff(Xi,0,n=2)/Xi(0))
        0.023104993115419

    We may ask for an approximate error value::

        >>> secondzeta(0.5+100j, error=True)
        ((-0.216272011276718 - 0.844952708937228j), 2.22044604925031e-16)

    The function has poles at the negative odd integers,
    and dyadic rational values at the negative even integers::

        >>> mp.dps = 30
        >>> secondzeta(-8)
        -0.67236328125
        >>> secondzeta(-7)
        +inf

    **Implementation notes**

    The function is computed as sum of four terms `Z(s)=A(s)-P(s)+E(s)-S(s)`
    respectively main, prime, exponential and singular terms.
    The main term `A(s)` is computed from the zeros of zeta.
    The prime term depends on the von Mangoldt function.
    The singular term is responsible for the poles of the function.

    The four terms depends on a small parameter `a`. We may change the
    value of `a`. Theoretically this has no effect on the sum of the four
    terms, but in practice may be important.

    A smaller value of the parameter `a` makes `A(s)` depend on
    a smaller number of zeros of zeta, but `P(s)`  uses more values of
    von Mangoldt function.

    We may also add a verbose option to obtain data about the
    values of the four terms.

        >>> mp.dps = 10
        >>> secondzeta(0.5 + 40j, error=True, verbose=True)
        main term = (-30190318549.138656312556 - 13964804384.624622876523j)
            computed using 19 zeros of zeta
        prime term = (132717176.89212754625045 + 188980555.17563978290601j)
            computed using 9 values of the von Mangoldt function
        exponential term = (542447428666.07179812536 + 362434922978.80192435203j)
        singular term = (512124392939.98154322355 + 348281138038.65531023921j)
        ((0.059471043 + 0.3463514534j), 1.455191523e-11)

        >>> secondzeta(0.5 + 40j, a=0.04, error=True, verbose=True)
        main term = (-151962888.19606243907725 - 217930683.90210294051982j)
            computed using 9 zeros of zeta
        prime term = (2476659342.3038722372461 + 28711581821.921627163136j)
            computed using 37 values of the von Mangoldt function
        exponential term = (178506047114.7838188264 + 819674143244.45677330576j)
        singular term = (175877424884.22441310708 + 790744630738.28669174871j)
        ((0.059471043 + 0.3463514534j), 1.455191523e-11)

    Notice the great cancellation between the four terms. Changing `a`, the
    four terms are very different numbers but the cancellation gives
    the good value of Z(s).

    **References**

    A. Voros, Zeta functions for the Riemann zeros, Ann. Institute Fourier,
    53, (2003) 665--699.

    A. Voros, Zeta functions over Zeros of Zeta Functions, Lecture Notes
    of the Unione Matematica Italiana, Springer, 2009.
    r   r�   rÑ   r   r@   Tr#  r   r   ÚTrue)r?  rä   )r?  rä   zmain term =z    computed usingzzeros of zetazprime term =z#values of the von Mangoldt functionzexponential term =zsingular term =r?  rQ  )r#   r�   r+   r§   ri   r)   r*   r   Úfractionrº   r'   rM  rñ   r   rD  rJ  rW  rh   rç   )r   r,   r   rq   r¼   r®   r'   Út3rô   rr   Úr1Úgtrs   Úr2ÚptÚt4Úr4r    r:   rµ   s                       r   Ú
secondzetarc  ”  s»  € ðx 	�Š�A‰Œ€AØ�Š�A‰Œ€AØ
Œ'€CØ
‡y‚y��|„|ð J˜Ÿš˜q™	œ	 Qš˜Ýˆq�‰s‰8Œ8�c˜$‘hÒÐØ”7ˆNÝ•�c—f’f˜Q‘i”iÑ Ô Ñ!Ô!ˆØˆq‰5ð 	JØ”7ˆNà˜A˜2˜q™5‘MØ—<’<  #§,¢,°¨r¸ ,Ñ"=Ô"=Ñ =¸aÀ1À"ÀQÁ$¹iÑHÔHñIð JàŒ8€DðÝ   a¨Ñ+Ô+ˆÝ˜Ÿš ™œ AÑ&Ô&ˆ	ØˆŒ�I ‘MÑ!ˆŒÝ)¨#¨a°¸ÈÐOÑOÔO‰
ˆˆB�Ý*¨3¨q°¸ÈÐPÑPÔP‰
ˆˆB�Ý)¨#¨a°¸Ð?Ñ?Ô?‰ˆˆBÝ   a¨Ñ+Ô+ˆØ�‰e�B‰hˆØˆr‰E�"‰H�R‰KˆØ�:Š:�iÑ Ô ð 	)Ý�- Ñ$Ô$Ð$ÝÐ&¨¨OÑ<Ô<Ð<Ý�. "Ñ%Ô%Ð%ÝÐ&¨Ð,QÑRÔRÐRÝÐ&¨Ñ+Ô+Ð+ÝÐ# RÑ(Ô(Ð(àˆŒˆø�4ˆŒˆˆˆˆØ‡z‚z�'ÑÔð Ý�—’�˜A™œ‘” Ñ"Ô"ˆÝ�#�a˜‘d‘(˜CœG B™J q¨!¡t™OÑ,Ô,ˆØˆr�3ˆwˆØˆ2€Is   ÄD(H3 È3	H<c                 ó  ‡ ‡‡‡	‡
‡— |dk    r‰‰ z  S |dk    r‰                       ‰‰¦  «        S ‰dk    r‰                      ‰|¦  «        |z  S ‰                      ‰¦  «        dk     r¯‰                      ‰¦  «        rt	          d¦  «        ‚t          ‰                      d‰                      ‰¦  «        z
  ¦  «        ¦  «        }‰ j        }‰ j        }t          |¦  «        D ]}||‰|z   ‰z  z  z  }||z  }Œ|‰  
                    |‰‰|z   ¦  «        z  |z   S ‰                      |¦  «        Š	dd‰‰z  z  z  ‰                      d‰z
  ‰ ‰	z  ¦  «        ‰	 ‰dz
  z  z  |‰z  z  z   }‰dz  Š
d‰ j        z  Šˆˆ ˆ	ˆ
ˆˆfd„}|d‰                      |d‰ j        g¦  «        z  z  }‰                      |¦  «        sX‰                      ‰¦  «        sC‰                      ‰¦  «        s.‰                      |¦  «        dk     r‰                      |¦  «        }|S )až
  
    Gives the Lerch transcendent, defined for `|z| < 1` and
    `\Re{a} > 0` by

    .. math ::

        \Phi(z,s,a) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^k}{(a+k)^s}

    and generally by the recurrence `\Phi(z,s,a) = z \Phi(z,s,a+1) + a^{-s}`
    along with the integral representation valid for `\Re{a} > 0`

    .. math ::

        \Phi(z,s,a) = \frac{1}{2 a^s} +
                \int_0^{\infty} \frac{z^t}{(a+t)^s} dt -
                2 \int_0^{\infty} \frac{\sin(t \log z - s
                    \operatorname{arctan}(t/a)}{(a^2 + t^2)^{s/2}
                    (e^{2 \pi t}-1)} dt.

    The Lerch transcendent generalizes the Hurwitz zeta function :func:`zeta`
    (`z = 1`) and the polylogarithm :func:`polylog` (`a = 1`).

    **Examples**

    Several evaluations in terms of simpler functions::

        >>> from mpmath import *
        >>> mp.dps = 25; mp.pretty = True
        >>> lerchphi(-1,2,0.5); 4*catalan
        3.663862376708876060218414
        3.663862376708876060218414
        >>> diff(lerchphi, (-1,-2,1), (0,1,0)); 7*zeta(3)/(4*pi**2)
        0.2131391994087528954617607
        0.2131391994087528954617607
        >>> lerchphi(-4,1,1); log(5)/4
        0.4023594781085250936501898
        0.4023594781085250936501898
        >>> lerchphi(-3+2j,1,0.5); 2*atanh(sqrt(-3+2j))/sqrt(-3+2j)
        (1.142423447120257137774002 + 0.2118232380980201350495795j)
        (1.142423447120257137774002 + 0.2118232380980201350495795j)

    Evaluation works for complex arguments and `|z| \ge 1`::

        >>> lerchphi(1+2j, 3-j, 4+2j)
        (0.002025009957009908600539469 + 0.003327897536813558807438089j)
        >>> lerchphi(-2,2,-2.5)
        -12.28676272353094275265944
        >>> lerchphi(10,10,10)
        (-4.462130727102185701817349e-11 - 1.575172198981096218823481e-12j)
        >>> lerchphi(10,10,-10.5)
        (112658784011940.5605789002 - 498113185.5756221777743631j)

    Some degenerate cases::

        >>> lerchphi(0,1,2)
        0.5
        >>> lerchphi(0,1,-2)
        -0.5

    Reduction to simpler functions::

        >>> lerchphi(1, 4.25+1j, 1)
        (1.044674457556746668033975 - 0.04674508654012658932271226j)
        >>> zeta(4.25+1j)
        (1.044674457556746668033975 - 0.04674508654012658932271226j)
        >>> lerchphi(1 - 0.5**10, 4.25+1j, 1)
        (1.044629338021507546737197 - 0.04667768813963388181708101j)
        >>> lerchphi(3, 4, 1)
        (1.249503297023366545192592 - 0.2314252413375664776474462j)
        >>> polylog(4, 3) / 3
        (1.249503297023366545192592 - 0.2314252413375664776474462j)
        >>> lerchphi(3, 4, 1 - 0.5**10)
        (1.253978063946663945672674 - 0.2316736622836535468765376j)

    **References**

    1. [DLMF]_ section 25.14

    r   r   z#Lerch transcendent complex infinityr   c                 ó¼   •— ‰                      ‰‰                     | ‰z  ¦  «        z  | ‰z  z
  ¦  «        ‰dz  | dz  z   ‰z  ‰                     ‰| z  ¦  «        z  z  S rN   )ÚsinÚatanÚexpm1)r:   r   r   rG   ru   r¨   r,   s    €€€€€€r   rC   zlerchphi.<locals>.<lambda>}  sY   ø€ �#—'’'˜!˜CŸHšH Q q¡S™MœM™/¨!¨A©#Ñ-Ñ.Ô.Ø
ˆQ‰$ˆq�!‰t‰)�a‰˜#Ÿ)š) A a¡C™.œ.Ñ	(ñ*€ r   )rn   rÔ   r§   r   rˆ   r*   rž   r4   r‘   r   Úlerchphir   r  r   r(   r)   r×   Úchop)r   rR   r,   r   r®   r   Úzpowr   r   rG   ru   r¨   s   ` ``     @@@r   ri  ri    s6  øøøøøø€ ðb 	ˆA‚v€vØ�a�R‰yÐàˆA‚v€vØ�xŠx˜˜1‰~Œ~ÐØˆA‚v€vØ�{Š{˜1˜aÑ Ô  1Ñ$Ð$Ø
‡v‚vˆa�y„y�1‚}€}Ø�;Š;�q‰>Œ>ð 	DÝÐBÑCÔCÐCÝ�—’˜˜3Ÿ6š6 !™9œ9™Ñ%Ô%Ñ&Ô&ˆØŒHˆØŒwˆÝ˜‘”ð 	ð 	ˆAØ�˜˜1™˜q™‘Ñ ˆAØ�A‰IˆDˆDØ�c—l’l 1 Q¨¨!©Ñ,Ô,Ñ,¨qÑ0Ð0Ø�Šˆq‰	Œ	€AØ	ˆ1ˆQ�‰T‰6‰
�S—\’\ ! A¡#¨ r¨!¡tÑ,Ô,°°°a¸±c©{Ñ:¸QÀ¹TÑAÑA€AØ	ˆA‰€AØ	ˆ#Œ&‰€Að	*ð 	*ð 	*ð 	*ð 	*ð 	*ð 	*ð 	*ð 	*€Aàˆˆ3�8Š8�A˜˜3œ7�|Ñ$Ô$Ñ	$Ñ$€AØ�6Š6�!‰9Œ9ð ˜SŸVšV A™YœYð ¨s¯vªv°a©y¬yð ¸S¿VºVÀA¹Y¼YÈº]¸]Ø�HŠH�Q‰KŒKˆØ€Hr   )r   )r   )r„   )F)r   r   N)r   r   )rX  )+Ú
__future__r   Úlibmp.backendr   Ú	functionsr   r   r	   r.   r>   rH   rg   r€   rƒ   r‹   r•   r˜   r¡   r©   r°   r·   rº   rÀ   rÄ   rÊ   rÏ   rÔ   rÙ   rÛ   rÓ   rÞ   rn   rê   rï   rð   r
  r:  rD  rJ  rM  rW  rc  ri  rO   r   r   ú<module>ro     sÙ  ðØ %Ð %Ð %Ð %Ð %Ð %à "Ð "Ð "Ð "Ð "Ð "Ø 9Ð 9Ð 9Ð 9Ð 9Ð 9Ð 9Ð 9Ð 9Ð 9àð#ð #ð #ñ „ð#ðJ ð+ð +ð +ñ „ð+ðB ðBð Bñ „ðBð ðJ%ð J%ñ „ðJ%ðZð ð €ð.ð ð ð ð
Eð 
Eð 
Eñ „ð
Eð ðð ñ „ðð, ð#ð #ñ „ð#ð ðð ñ „ðð ð%ð %ñ „ð%ðF ð*)ð *)ñ „ð*)ðX ð%)ð %)ñ „ð%)ðN ð.ð .ð .ñ „ð.ðð ð ð	ð 	ð 	ð"ð "ð "ðH*ð *ð *ð( ð&ð &ñ „ð&ð* ð
9ð 
9ð 
9ñ „ð
9ð ð
5ð 
5ð 
5ñ „ð
5ð ð'ð 'ñ „ð'ð ð,ð ,ñ „ð,ð
 ð3,ð 3,ð 3,ñ „ð3,ðj ð"ð "ð "ñ „ð"ðH'ð 'ð 'ðR=ð =ð =ðB Ø() s°Eð ;ð ;ð ;ñ „ð;ðz Ø˜#¨!ð ð ð ñ „ððBð ð ð(ð ð ð(ð ð ð&"ð "ð "ðH ðð ð ñ „ððD ðjð jñ „ðjð jð jr   